მათემატიკა

კონა

თუ გვაქვს ტოპოლოგიურ სივრცეთა უწყვეტი სურექცია π: Y → X. ამ ასახვით შევქმნათ სიმრავლეთა სისტემა ბაზით X-ის ღია სიმრავლეთა სიმრავლე O, ღია სიმრავლე U-ს შევუსაბამოთ უწყვეტ კვეთათა სიმრავლე, აღვნიშნოთ OU-თი. ვთქვათ სრულდება პირობა:
- F-ის ყოველ წერტილზე გადის ერთი კვეთა მაინც.
თუ გვაქვს სიმრავლე Y და მის ყოველ ელემენტ y-ს შეესაბამება ღია სიმრავლე (ანუ მოცემულია ღია სიმრავლეთა ერთობლიობა) და მასზე უწყვეტი კვეთა s ∈ O(Uy), უწყვეტი ასახვა s: Uy → F = TU. დავუშვათ ამ კვეთათა სისტემაზე სრულდება პირობა:
- ყოველი წყვილისათვის y და z სიმრავლე Y-დან კვეთები s ∈ O(Uy) და t ∈ O(Uz) ტოლია Uy ∩ Uz-ზე.
ამ პირობით აიგება კვეთა სიმრავლე Y-ში შემავალ ღია სიმრავლეთა გაერთიანება ∪ Uy-დან, ანუ TY-დან. კვეთა, ადვილი დასანახია, უწყვეტია.

წინას მსგავსად, თუ გვაქვს ღია სიმრავლეთა სიმრავლეზე როგორც საბაზო სიმრავლეზე სიმრავლეთა სისტემა F, ანუ ყოველ ღია სიმრავლე U-ს ეთანადება სიმრავლე FU და ღია სიმრავლეთა წყვილისათვის V ⊂ U გვაქვს ასახვა FU → FV პირობით:
- თუ W ⊂ V ⊂ U, მაშინ კომპოზიცია OF → VF → WF ტოლია ასახვის FU → FW
ვამბობთ რომ გვაქვს წინაკონა.

ინგლისურად - presheaf
ფრანგულად - un préfaisceau
გერმანულად - eine Prägarbe
იტალიურად - un prefascio
ესპანურად - un prec
რუსულად - предпучок

თუ ტოპოლოგიური სივრცის ღია სიმრავლეთა ერთობლიობას ჩადგმებთან ერთად შევხედავთ როგორც კატეგორიას მაშინ წინაკონა წარმოგვიდგება ამ კატეგორიიდან სიმრავლეთა კატეგორიაში კონტრავარიანტულ ფუნქტორად. ასე რომ უფრო ზოგადად წინაკონად შეგვიძლია ვიგულისხმოდ ტოპოლოგიური სივრცის ღია სიმრავლეთა კატეგორიაზე ნებისმიერი კონტრავარიანტული ფუნქტორი. სიმრავლეთა უპირატესობა იმაშია რომ წინაკონიდან შგვიძლია შევქმნათ სივრცე და მისი უწყვეტი სურექცია მოცემულ ტოპოლოგიურ სივრცეზე, ანუ ავაგოთ ტოტალური სივრცე და განვსაზღროთ უწყვეტი ასახვა მოცემულ ტოპოლოგიურ სივრცეზე.

ვთქვათ F არის ტოპოლოგიურ სივრცე X-ზე მოცემული წინაკონა, ანუ კონტრავარიანტული ფუნქტორი X-ის ღია სიმრალეთა კატეგორიიდან სიმრავლეთა კატეგორაში. X-ის ყოველი წერტილი x-ისათვის განვიხილოთ მის ღია მიდამოთა მიმართულ სისტემაზე F-ის ნაწილის პირდაპირი ზღვარი Fx. ტოტალური სივრცე იქნება ამ სივრცეთა გაერთიანება F, ხოლო თვით Fx ფენა x-ზე. მივიღეთ ლოკალური ჰომეორომორფიზმი F → X.

ინგლისურად - sheaf
ფრანგულად - un faisceau
გერმანულად - eine garbe
იტალიურად - un fascio
ესპანურად - un haz
რუსულად - пучок

კონის მოცემა ორნაირად არის შესაძლებელი ან წინაკონის საშუალებით, ანუ ღია სომრავლეთა კატგორიაზე ფუნქტორით F და დამატებითი პირობით:
თუ ღია სიმრავლე X არის ღია სიმრავლეთა Xi გაერთიანება, X = ∪ Xi და si ∈ XiF ისეთი რომ ყოველი წყვილისათვის Xi, Xj ანასახები თანაკვეთისათვის (Xi ∩ Xj)F-ში ტოლია მაშინ არსებობს ერთადერთი s ∈ XF ისეთი რომ ყოველი si მისი ანასახია.
ლოკალური ჰომეომორფიზმის ფენა იქმნება ბაზის წერტილზე როგორც მიდამოებზე ფუნქტორის მნიშვნელობათა პირდაპირი ზღვარი.

თუ კონა მოცემულია ლოკალური ჰომეომორფიზმით π: Y → X (Y-ის ყოველ წერტილს გააჩნია მიდამო რომელიც პროექციით π ჰომეომოფულად აისახება ბაზის წერტილის ღია მიდამოზე). ფუნქტორის მნიშნელობა ღია სიმრავლეზე იქნება მასზე კვეთათა სიმრავლე.

როგორც უკვე თავიდან იყო ნაჩვნები ნებისმიერი უწყვეტი სურექციული ასახვა a: Y → X განსაზღვრავს კონტრავარიანტულ ფუნქტორს, თუ U ღია სიმრავლეა მაშინ მასზე ფუნქტორის მნიშვნელობა იქნება უწყვეტ ასახვათა სიმრავლე U-დან Y-ში რომელიც a-სთან კომპოზიციაში იგიურს იძლევა.ლია რომ ადვილი შესამოწმებელია რომ ეს ფუნქტორი აკმაყოფილებს კონის პირობას. ამ ფუნქტორით განსაზღრული ლოკალური ჰომეომორფიზმის ფენა წერტილზე x აღვნიშნოთ x(aF)-ით, ხოლო მათი გაერთიანება aF-ით. გვაქვს ლოკალური ჰომეომორფიზმი და კონა aF → X.
როგორი იქნება და რა კავშირი ექნება ფიბრაციისაგან შექმნილ კონას? ვთქვათ მოცემულია წრფივი ფიბრაცია E → M. ვქმნით კონა F-ს. ღია სიმრავლე U-ზე მნიშვნელობა UF იქნება კვეთათა სიმრავლე U-დან E-ში, ხოლო ფენა xF წერტილი x-ის მიდამოთა მნიშვნელობათა პირდაპირი ზღვარი UF → xF. რადგან არსებობს UF → xE როგორც კვეთის მნიშვნელობა x-ზე გვექნება ასახვაც xF → xE.