სიმპლექტური სტრუქტურა

კომპლექსური რიცხვის ცნება ალბათ პირველად დაებადა ჯერონიმო კარდანოს (Geronimo Cardano [ლათინურად Hieronymus Cardanus], 1501,09.24 – 1576.09.21), რომელმაც მესამე ხარისხის მრავალწევრის ფესვის პოვნის ალგორითმი (ფორმულა) იპოვა. კომპლექსურ რიცხვთა მოქმედებანი (შეკრება, გამრავლება, გამოკლება, გაყოფა) სრულად ჩამოაყალიბა ბომბელიმ (Rafael Bombelli, 1526 - 1572). დღევანდელი ფორმა და მისი განზოგადოებაც კვატერნიორებად ჰამლტონის (William Rowan Hamilton (1805.08.04 – 1865.09.02) დამსახურებაა. სიტყვა plexus ლათინურად წნულს ნიშნავს, საიდანაც complexus. მისი ბერძნული ანალოგია πλεκτικός, საიდანაც συμπλεκτικός, სიმპლექსური. ეს სიტყვა ტერმინად მათემატიკაში 1939 წელს შემოუტანია ჰერმან ვეილს (Hermann Klaus Hugo Weyl, 1885.11.09 – 1955.12.08).

ცნობილია ანტისიმეტრიული ფორმა წრფივი სივრცისა და მისი შეუღლებულის ნამრავლზე, E × E^∗-ზე. წრფივ სივრცეს მასზე მოცემულ გადაუგვარებელ ანტისიმეტრიულ ორად წრფივი ფორმით უწოდებენ სიმპლექტურ სივრცეს.

ინგლისურად - symplectic vector space
ფრანგულად - un espace vectoriel symplectique
გერმანულად - ein symplektischer Raum
იტალიურად - uno spazio vettoriale simplettico
ესპანურად - un espacio vectorial simpléctico
რუსულად - симплектическое пространство

დავიწყოთ მისი უბრალო განზოგადოებიდან სადაც ფორმა, ანუ ორად წრფივი ასახვა ველში შეცვლილია ორად წრფივი ასახვით წრფივ სივრცეში. წრფივი სივრცე E-დან წრფივ სივრცე q-ში გადაუგვარებელი ორად წრფივი ანტისიმეტრიული ასახვა ω: E × E → q მივიჩნიოთ სიმპლექტურ სტრუქტურად E-ზე. ქვესივრცე იზოტროპულია თუ მასზე ω ნულის ტოლია. გასაგებია, რომ ყოველი ვექტორისათვის ω[x, x] = 0. ასე რომ ყოველი ერთგანზომილებიანი ქვესივრცე იზოტროპულია. თუ ვიხმართ ორთოგონალობის ცნებას (y არის x-ის ორთოგონალური, x ⊥ y ⇔ ω[x, y] = 0), მაშინ ქვესივრცე X-ის ორთოგონალური, ანუ ანულატორი იქნება X^⊥, ყველა ისეთი y, რომელიც ქვესივრცე X-ის ყველა ვექტორის ორთოგონალურია, ანუ y ∈ X^⊥ ⇔ ∀ x ∈ X ω[x, y] = 0. ქვესივრცე X იქნება იზოტროპული თუ X ⊂ X^⊥. ხმარობენ ორადულ ცნებასაც, ქვესივრცე X კოიზოტროპულია თუ X^⊥ ⊂ X. თვით მთელი სივრცე კოიზოტროპული გამოდის.

განსაზღვრა
მაქსიმალურ იზოტროპულ ქვესივრცეს ლაგრანჟის სივრცეს უწოდებენ

თუ X ლაგრანჟის ქვესივრცეა, მაშინ X = X^⊥.

ავიღოთ ორი წრფივი სივრცე p და q. განვიხილოთ წრფივ სივრცეთა ნამრავლი p × Lin(p, q) და მისგან შემდეგი ასახვა q-ში რომელიც წყვილს [x, f], [y, g] გადაიტანს <[x, f], [y, g]> = xg - yf, სადაც x, y ∈ p, ხოლო f, g ∈ Lin(p, q). გასაგებია, რომ ეს იქნება ანტისიმეტრიული ორად წრფივი ასახვა p × Lin(p, q)-დან q-ში. სიმპლექტური სივრცის მაგალითი p × Lin(p, q)-ს ქვესივრცეთა შორის ვეძებოთ. ვიგულისხმოთ რომ ორივე სივრცე სასრული განზომილებისაა.

ვთქვათ E სიმპლექტური სივრცეა q-ს მიმართ და L მისი ლაგრანჟის ქვესირცე. ძირითადი სივრცის ყოველ ვექტორ u-ს შეესაბამება წრფივი ასახვა u: x → ω(x, u). განვიხილოთ ამ ასახვის ამოკვეთა ქვესივრცე L-ზე. ეს ასახვა ω-ს ორად წრფივობის გამო წრფივი ასახვაა. თუ თვით u ეკუთვნის ქვესივრცე L-ს, მაშინ u = 0. თუ u არ ეკუთვნის ქვესივრცე L-ს, მაშინ მისი შესაბამისი ასახვა ნულისაგან განსხვავდება, რადგან L მაქსიმალური იზოტროპული ქვესივრცეა. მივიღეთ მონომორფიზმი, ჩადგმა E / L → Lin(L, q). თუ ავირჩევთ L-ის დამატებას E-ში, ანუ პროექციის E → E / L შებრუნებულ ასახვას a: E / L → E, გვექნება მონომორფიზმიც E = L × E/L → L × Lin(L, q).
ყოველი ვექტორისათვის u ∈ E გვექნება u = x + (u + L)a → [x, u], სადაც x ∈ L.
<[x, u], [y, v]> = xv - yu = ω(x, v) - ω(y, u) = ω(x, y + (v + L)a ) - ω(y, x + (u + L)a)
ω(u, v) = ω(x + (u + L)a, y + (v + L)a = ω(x, y + (v + L)a) - ω(y, x + (u + L)a) + ω((u + L)a, (v + L)a)
მივიღეთ ω(u, v) = <[x, u], [y, v]> + ω((u + L)a, (v + L)a)
ეს ნიშნავს: თუ Im a იზოტროპულია მაშინ <[x, u], [y, v]> = ω(u, v), ანუ E არის L × Lin(L, q)-ს სიმპლექტური ქვესივრცე.

ანალოგიურად შეგვიძლია წრფივი სივრცე E ჩავდგათ E/L × Lin(E/L, q)-ში. თუ a: E / L → E არის პროექციის E → E / L შებრუნებული ასახვა გვექნება იზომორფიზმი E/L × L → E, [u, x] → ua + x, ხოლო E/L × L მონომორფულად აისახება E/L × Lin(E/L, q)-ში, [u, x] → [u, x], სადაც x: E/L → q, u → ω(ua, x). რადგან x ∈ L და L ლაგრანჟის ქვესივრცეა x ნულია L-ზე. თუ E/L-ზეც ნულია მთელ E-ზე ყოფილა ნული და ω-ს გადაუგვარებლობის გამო თვით x ნულია.