მათემატიკა

სისტემა ტოპოლოგიურ სივრცეზე

ხშირია ვითარება როდესაც ტოპოლოგიურ სივრცეს შეუსაბამებენ რაიმე სტრუქტურის მატარებელ სიმრავლეთა სისტემას, ჯგუფების, წრფივი სივრცეების ან სხვა რაგინდარა სტრუქტურის მატარებლებს. ტოპოლოგიურ სივრცეში ძირითადი ობიექტებია წერტილები, ღია სიმრავლეები ან ჩაკეტილი სიმრავლეები. თუ ტოპოლოგიური სივრცის ღია სიმრავლეთა ერთობლიობას განვიხილავთ როგორც კატეგორიას, რომელშიც ჩადგმაა მორფიზმი, მაშინ სისტემა შეგვიძლია წარმოვიდგინოთ როგორც ფუნქტორი ამ კატეგორიიდან.

მაგალითი
ყველაზე მარტივი, ტრივიალური მაგალითია თუ ყოველ ღია სიმრავლეს შევუსაბამებთ ერთი და იმავე სიმრავლეს, ხოლო ჩადგმას მის იგიურ ასახვას.
უფრო შინაარსიანი მაგალითი შემდეგია: ვთქვათ T და A ტოპოლოგიური სივრცეებია. T-ს ყოველ ღია სიმრავლე X-ს შევუსაბამოთ X-დან A-ში უწყვეტ ასახვათა სიმრავლე XM. თუ X ⊂ Y, მაშინ მისი შესაბამისი ასახვა YM-დან XM-ში იყოს Y-დან A-ში ასახვის ამოკვეთა X-ზე, ანუ იგივე ასახვა ოღონდ განხილული მხოლოდ Y-ის ნაწილზე, X-ზე. მივიღეთ T-ზე სიმრავლეთა სისტემა, ანუ კონტრავარიანტული ფუნქტორი T-ს ღია სიმრავლეთა კატეგორიიდან სიმრავლეთა კატეგორიაში.

მაგალითი
წინა მაგალითის განვითარება. განვიხილოთ ტოპოლოგიურ სივრცეთა უწყვეტი ასახვა p: E → T. ამ ასახვის მეშვეობით ავაგოთ სისტემა, კონტრავარიანტული ფუნქტორი T-ს ღია სიმრავლეთა კატეგორიიდან სიმრავლეთა კატეგორიაში შემდეგნაირად: ღია სიმრავლე X-ს შევუსაბამოთ უწყვეტი ასახვები X-დან E-ში, რომელნიც p-სთან კომპოზიციაში იგიურს იძლევა, ანუ კვეთათა სიმრავლე Γ(X, p). ჩადგმას X ⊂ Y ისევ ამოკვეთა შევუსაბამოთ, Γ(Y, p) → Γ(X, p). წინა მაგალითი ამის კერძო შემთხვევაა, უწყვეტ ასახვად აღებულია პროექცია T × A → T.

განსაზღვრა
ვუწოდოთ კონა ტოპოლოგიურ სივრცე X-ზე სიმრავლეთა კონტრავარიანტულ სისტემაF-ს პირობით:
- თუ ღია სიმრავლე V არის ღია სიმრავლეთა გაერთიანება V = ∪ Vi და ყოველ Vi-ის შესაბამის სიმრავლე ViF-დან ელემენტი si ისეთი რომ si-სა და sj-ის ანასახი (Vi ∩ Vj)F-ში ტოლია, მაშინ VF-ში არსებობს ერთადერთი ელემენტი s, რომელიც აისახება ყველა si-ში.

ინგლისურად - sheaf
ფრანგულად - un faisceau
გერმანულად - eine Garbe
იტალიურად - un fascio
ესპანურად - un haz
რუსულად - пучок

ადვილი შესამოწმებელია, რომ ყველა წინა მაგალითი კონაა.

ტოპოლოგიური სივრცის ღია სიმრავლეთა დალაგებულ სიმრავლეზე სისტემის მეშვეობით კონის აგებაა შესაძლებელი. ვთქვათ ტოპოლოგიური სივრცე T-ს ღია სიმრავლეთა კატეგორიაზე განსაზღვრულია სიმრავლეთა სისტემა A, კონტრავარიანტული ფუნქტორი სიმრავლეთა კატეგორიაში. ყოველი წერტილის ღია მიდამოთა დალაგებული სიმრავლე მიმართულია. მასზე განსაზღვრული ფუნქტორი A-ს ზღვარი T-ს ყოველ წერტილ x-ს შეუსაბამებს სიმრავლეს xA-ს. განვიხილოთ xA-თა გაერთიანება A = ∪ xA და მისი ბუნებრივი პროექცია A → T. A-ს ელემენტ a-ს აქვს წარმომადგენელი x-ის რომელიღაც ღია მიდამო X-ის შესაბამის სიმრავლე XA-ში ელემენტი u. ელმენტ a-ს მიდამოდ მივიჩნიოთ u-ს ყველა ანასახი yA-ში, სადაც y ∈ X, აღვნიშნოთ ეს მიდამო U-თი. ადვილი შესამოწმებელია, რომ ამგვარ სიმრავლეთა ერთობლიობა u-ს მიდამოთა სისტემა იქნება და A-ზე ტოპოლოგიას განსაზღვრავს.

ადვილი შესამოწმებელია, რომ აგებული ასახვა A → T უწყვეტია, ლამის ტავტოლოგიაა. მეტიც ეს ასახვა ლოკალური ჰომეომორფიზმია, ანუ ყოველ წერტილს და მის ანასახს აქვს ერთმანეთის ჰომეომორფული ღია მიდამო. A-ზე ტოპოლოგიის განსაზღვრისათვის აგებული მიდამოები სწორედ ასეთი ღია სიმრავლეებია.

AX-ის, სადაც X ღია სიმრავლეა, ყოველი ელემენტი შეგვიძლია განვიხილოთ როგორც ასახვა X-დან A-ში: X-ის წერტილ x-ს a შეუსაბამებს თავის ანასახს ზღვარში Ax ⊂ A. მივიღეთ კვეთა X → A. მაგრამ ყოველი კვეთა არ იქნება ამგვარად წარმოდგენილი და შესაძლოა განსხვავებული ელემენტებით აგებული კვეთები ტოლი აღმოჩდეს. კვეთათა სიმრავლე აღვნიშნოთ Γ(X, A)-თი. გვაქვს ასახვა AX → Γ(X, A).

თეორემა
თუ A კონაა, ასახვა AX → Γ(X, A) ურთიერთ ცალსახაა.

მტკიცება
ავაგოთ შებრუნებული ასახვა. ვთქვათ a ∈ Γ(X, A). ყოველი წერტილი x-სათვის X-დან არსებობს მისი შემცველი ღია სიმრავლე xV ⊂ X და xb ∈ (xV)A, რომელიც შედის xa-ში ზღვრის განმარტების თანახმად. რადგან a უწყვეტი ასახვაა, xV შეგვიძლია შევამციროთ იმდენად რომ ეს ასე იყოს მისი ყოველი წერტილისათვის. მივიღეთ X-ის სასურველი დაფარვა და დაფარვის ყოველ მონაწილეში შეთანხმებული ელემენტები xb ∈ (xV)A. რადგან A კონაა არსებობს ერთადერთი სათანადო ელემენტი AX-შიც.