მათემატიკა

მცირე ასახვა

ამ თავში ასახვის მხოლოდ ნულის მიდამოში მისი თვისება გვაინტერესებს ამიტომ შემდგომში არ განვასხვავებთ ასახვებს თუ ნულთან ახლოს ტოლებია. საერთოდ ვიხმართ ტერმინს ასახვა თუ მხოლოდ წრფივი სივრცის ნულის მიდამოშია განსაზღვრული.

განსაზღვრა
წრფივი სივრცე E-დან წრფივ სივრცე F-ში ლოკალური ასახვა ვუწოდოთ ასახვას ნულის ნებისმიერი მიდამოდან F-ში ასახვას თუ ნულს ნულში გადაიტანს. ორი ამგვარი ასახვა ჩავთვალოთ ტოლებად თუ ნულის რაიმე მიდამოში მათი მნიშვნელობები ტოლია.

ამ თავში შემდგომში მხოლოდ ლოკალურ ასახვებთან გვექნება საქმე ამიტომ ასახვაში ყოველთვის ვგულისხმობთ მხოლოდ მის რაიმე მიდამოში განსაზღვრულ ნაწილს.

ასახვის დიფერენციალის განსაზღვრისათვის საჭიროა ჩამოყალიბდეს ასახვისა და წრფივი ასახვის სიახლოვის ცნება, რათა ზოგიერთ შემთხვევაში გამოვიყენოთ უფრო მარტივი შემცვლელი წრფივი ასახვა. ეს იდეა, რაიმე ობიექტის მარტივით ჩანაცვლება, საკმაოდ ძველია და ბუნებრივიც. ობიექტსა და მის შემცვლელს შორის განსხვავების დახასიათებისათვის ბერძნები ხმარობდენო სიტყვას απειρον (α πειραρ - ბოლო, დასასრული რომ არა აქვს). სხვაობა იმდენად მცირეა, რომ ვერც იზომება, ყოველგვარ მცირე რიცხვზე ნაკლებია. მას ზოგჯერ უსასრულოდ მცირედაც მოიხსენიებენ.

განსაზღვრა
წრფივი სივრცე E-დან წრფივ სივრცე F-ში ასახვა α-ს ვუწოდოთ მცირე თუ ყოველი ნატურალური რიცხვი k-სათვის არსებობს ნულის მიდამო X ისეთი რომ

x ∈ X, x ≠ 0 ⇒ k • |xα| < |x|

ანუ თუ გვინდა ანასახი არგუმენტზე k-ჯერ მცირე იყოს 1, საჭიროა თვით არგუმენტი შევამციროთ (გასაგებია, რომ მიდამოც უნდა შეიცვალოს, შემცირდეს). თუ ნებისიერი k-სათვის ეს შესაძლებელია, ასახვას ვუწოდებთ მცირეს. ეს ცნება გვჭირდება რათა იყოს ერთი ასახვის მეორე ასახვით შეცვლის შესაძლებლობა. ეს ცვლილება დასაშვებია თუ მათ შორის სხვაობა მცირეა.

ნულის მიდამოს შემცირებით მიიღწევა, რომ მისი ვექტორის ანასახის ნორმა თვით ვექტორის ნორმაზე რამდენჯერაც გვინდა იმდენჯერ ნაკლები მივიღოთ. გასაგებია ვგულისხმობთ, რომ შემცირებული მიდამო X შედის α-ს განსაზღვრის არეში, 0 ასახვა α-ს განსაზღვრის არის შიდა ლასსშემდგომში გარკვეულობისათვის მცირე ასახვა ბერძნული ასოთი აღვნიშნოთ.

თვით განსაზღვრებიდან ნათლად ჩანს, რომ მცირე ასახვა უწყვეტია ნულში, მაგრამ, შესაძლოა არა მის მიდამოში. ასევე ნათელია, რომ ამ ასახვით ნულის ანასახი ნულია.

თეორემა
მცირე ასახვათა სიმრავლე წრფივი სივრცეა

მტკიცება
ვთქვათ α და β მცირე ასახვებია. სთანადო მიდამოთა თანაკვეთით მოვძებნით ნულის ისეთ მიდამოს, რომელშიც

s ∈ M ⇒ k • 2 • |sα| < |s| და k • 2 • |sβ| < |s|
მაშინ
k • 2 • |s(α + β)| = k • 2 • |sα + sβ| < k • 2 • |sα| + k • 2 • |sβ| < |s| + |s| < 2 • |s|
საიდანაც
k • |s(α + β)| < |s|
ასევე, რადგან მიიღწევა
k • |s(α • r)| = k • |(sα) • r| = k • |sα| • |r| < |s|
k • |r|-ზე დიდი ნატურალური რიცხვისათვის არსებულ მიდამოში გვექნება უტოლობაც
k • |s(α • r)| < |s|
ეს ყველაფერი კი ნიშნავს, რომ მცირე ასახვათა სიმრავლე წრფივი სივრცეა.

ასახვას ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეში, ჩვეულებრივ, ფუნქციას უწოდებენ. ასახვის სიმცირეს მარტო რიცხვზე გამრავლება არ ინარჩუნებს. სიმცირე შენარჩუნდება თუ მცირე ასახვას გავამრავლებთ შემოსაზღვრულ ფუნქციაზე, ანუ ფუნქციაზე, რომელიც მცირე მიდამოში რაიმე რიცხვზე ნაკლებია.

თეორემა
შემოსაზღვრული ფუნქციისა და მცირე ასახვის ნამრავლი მცირე ასახვაა

მტკიცება
ვთქვათ α მცირე ასახვაა, ხოლო f კი ფუნქცია შემოსაზღვრული რიცხვით а. ყოველი ნატურალური რიცხვი k-სათვის არსებობს ნულის მიდამო, რომელიც შეესბამება k • a-ზე მეტ ნატურალურ რიცხვს, მისი ვექტორისათვის

k • |s(α • f)| = k • |sα • sf| = k • |sα| • |sf| < k • |sα| • a < |s|

მცირე ასახვა და წრფივი ასახვა

ნებისმიერი ვექტორისა და ნებისმიერი მცირე მიდამოსათვის მოიძებნება საკმაოდ დიდი რიცხვი რომელზეც ვექტორის განაყოფი შევა ამ მცირე მიდამოში. თუ ასახვა α მცირეცაა და წრფივიც, გვექნება |(s • k)α| = |(sα) • k| = |sα| • k < |s| ანუ ნებისმიერი ვექტორის ანასახის ნორმა რაგინდ მცირეა. ანუ ნულია. დავამტკიცეთ

თეორემა
მხოლოდ ნულოვანი ასახვაა წრფივიც და მცირეც

სასრული განზომილების წრფივი სივრცე უსასრულო განზომილების წრფივი სივრცისაგან იმითაც განსხვავდება რომ წრფივი ფუნცია, ანუ ფუნქციონალი სასრული განზომილების სივრციდან ნულის შემოსაზღვრულ მიდამოში შემოსაზღრულიცაა. უსასრულო განზომილების სივრციდან კი მარტივად აიგება შემოუსაზღვრავი ფუნქციონალი. ამ შენიშვნიდან კი დასკვნა.

თეორემა
წრფივი ასახვის ნამრავლი მცირე ფუნქციაზე მცირე ასახვაა

მტკიცება
ვთქვათ f წრფივი ასახვაა. განვიხილოთ ასახვა s → |sf|. ვაჩვენოთ რომ ეს ასახვა შემოსაზღვრულია. ავიღოთ ნულის მიდამოდ ნორმით 1-ზე ნაკლებ ვექტორთა სიმრავლე. ამ სიმრავლის ვექტორისათვის გვექნება |sf| < |s| • |f| < |f|. დანარჩენი ნათელია.

თეორემა
სასრული განზომილების სივრციდან წრფივი ფუნქციის (ფუნქციონალის) ნამრავლი წრფივ ასახვაზე მცირე ასახვაა

მტკიცება
ვთქვათ f წრფივი ასახვაა, ხოლო g წრფივი ფუნქცია. განვიხილოთ ნამრავლი g • f. საჭიროა ვაჩვენოთ რომ არსებობს მიდამო რომელშიც k • |s(g • f)| < |s|. მიდამოდ ავიღოთ, რომელშიაც |s| < 1 / (k • |g| • |f|). გვექნება

k • |s(g • f)| = k • |sg • sf| ≤ k • |sg| • |sf| ≤ k • |s| • |g| • |s| • |f| < |s|

თეორემა
მცირე ასახვის კომპოზიცია წრფივ ასახვასთან მცირე ასახვაა

მტკიცება
ვთქვათ f წრფივი ასახვაა, ხოლო α მცირე ასახვა. თუ მიდამოდ ავიღებთ k • |f|-ზე მეტი ნატურალური რიცხვისათვის შესაბამისს, გვექნება

k • |f| • |s(f ∘ α)| = k • |f| • |(sf)α| < |sf| < |s| • |f|
საიდანაც k • |s(f ∘ α)| < |s|.

მაგალითები
ყველაზე მარტივი და ყველაზე საჭირო მაგალითებია მცირე ასახვები ნამდვილ რიცხვთა ველიდან თავის თავში.

განვიხილოთ ასახვა R → R, x → r • xm. თუ m = 1, ეს ასახვა წრფივია და მცირეა მხოლოდ მაშინ თუ r = 0. ვთქვათ m > 1. მოცემული k-სათვის ავირჩიოთ ნატურალური რიცხვი n მეტი k • |r|-ზე, მიდამოდ 1 / n-ზე ნაკლები სიგრძის ვექტორთა სიმრავლე. გვექნება

k • |r • xm| = k • |r| • |xm| < n • |xm| < (n • |x|)m-1 • |x| < 1 • |x| = |x|

ამ მსჯელობაში მნიშვნელოვანია, რომ ხარისხის მაჩვენებელი მეტია ერთზე. მივიღეთ, თუ m > 1 ასახვა

x → r • xm
მცირეა.

წინა აბზაცში ჩატარებული მსჯელობისათვის არ არის აუცილებელი, რომ ხარისხის მაჩვენებელი ნატურალური იყოს. ეს მსჯელობა გამართულია თუ ხარისხის მაჩვენებელი არ უდრის ერთს. ასე რომ შეგვიძლია გავიმეოროთ, თუ ხარისხის მაჩვენებელი მეტია ერთზე, ასახვა

x → r • xc
მცირეა.

ვთქვათ წრფივ სივრცე S-ში განსაზღვრულია სკალარული გამრავლება. ასახვა s → ‹s, s› მცირეა. ეს ფაქტიურად ტავტოლოგიაა, დაუკვირდით მიდამოს არჩევანს. თუ მიდამოდ ავირჩევთ 1 / k-ზე ნაკლები სიგრძის ვექტორებს, ანუ იმ ვექტორს რომლის ‹s, s› მცირეა, მაშინ

k • |‹se, s›| = k • |s|2 < k • |s| • |s| < 1 • |s| = |s|

ლოკალურ ასახვათა წრფივი სივრცე

ვთქვათ E და F წრფივი სივრცეებია. ვიგულისხმოთ რომ ორივე სასრული განზომილებისაა. განვიხილოთ E-ს ნულის მიდამოს ასახვები F-ში პირობით: ნული გადადის ნულში. ამ სიმრავლეში შემოვიტანოთ მიმართება: ორი ასახვა ექვივალენტურია თუ მათი სხვაობა მცირე ასახვაა. ამ გაიგივების შედეგად მიღებული ფაქტორ სივრცე წრფივი სივრცეა.

რადგან წრფივი სივრცე რომელიდანაც ვიხილავთ ასახვებს სასრული განზომილებისაა ამიტომ ყოველი წფრივი ასახვა შემოსაზღვრულია და გვაქვს ჩადგმა Lin(E, F) ⊂ N(E, F). უფრო მეტიც, ორი განსხვავებული წრფივი ასხვა ექვივალენტური ვერ იქნება, ანუ მცირე ასახვებით ექვივალენტობის კლასში არის მხოლოდ ერთი წრფივი ასახვა. ეს შედეგია იმისა რომ წრფივი და მცირე შეუთავსებელი ცნებაა.

წრფივ ასახვათა ექვივალენტურ ასახვათა სიმრავლე დიფერენცირებად ასახვებად იწოდებიან. ასახვის ექვივალენტური წრფივი ასახვა კი მისი დიფერენციალია.

ჩამოვაყალიბოთ ძირითადი დასკვნა. წრფივი სივრცე E-დან წფივ სივრცე F-ში ლოკალურ ასახვათა სიმრავლე წრფივი სივრცეა. მცირე ასახვათა სიმრავლე მისი წრფივი ქვესივრცეა. ამ ქვესივრცის მიმართ ყოველ შრეში მხოლოდ ერთი წრფივი ასახვაა. წრფივ ასახვათა შემცველ შრეთა გაერთიანება ნულში დიფერენციალის მქონეთა წრფივი ქვესივრცეა. ასახვის შრეში მყოფი წრფივი ასახვა მისი დიფერენციალია.