მათემატიკა

უწყვეტად დიფერენცირებადი ასახვა

თეორემა
თუ f ასახვა E სივრცის ღია U სიმრავლიდან F სივრცეში უწყვეტად წარმოებადია, მაშინ U სიმრავლის ყოველი x წერტილისა და დადებითი β რიცხვისათვის არსებობს დადებითი α ისეთი, რომ თუ |u| < α და |v| < α მაშინ
|f(x+u+v) - f(x+u) - f'(x+u)(v)| < β|v|

მტკიცება
რადგან f უწყვეტად წარმოებადია, ანუ f' უწყვეტია, ამიტომ საკმაოდ მცირე u-სათვის სამართლიანია უტოლობა
|f'(x+u) - f'x| < β/2
განვიხილოთ ასახვა u → gu = f(x+u) - (f'x)u
ამ ასახვის წარმოებული u წერტილში იქნება წრფივი ასახვა
v → g'(u)(v) = f'(x+u)(v) - f'(x)(v), ანუასახვა g'(u)=f'(x+u) - f'(x).
ზემოდნახსენებ მცირე მიდამოში, სადაც სრულდება უტოლობა, ეს ასახვა შემოსაზღვრულია β/2 რიცხვით. თეორემა 43-ის თანახმად გვექნება |f(x+u+v) - f(x+u) - f'(x)(v)| = |f(x+u+v) - f'(x)(u+v) - f(x+u) + f'(x)(u)| = |g(u+v) - g(u)| < (β/2)|v| ამ ორი უტოლობიდან უკვე შეიძლება გამოვიტანოთ სასურველი უტოლობა |f(x+u+v) - f(x+u) - f'(x+u)v| = |f(x+u+v) - f(x+u) - (f'x)v + (f'x)v - f'(x+u)v| < < |f(x+u+v)-f(x+u)-fù(x)(v)|+|fù(x)(v)-fù(x+u)(v)| < (β/2)|v|+(β/2)|v| = β|v| შევჩერდეთ და გავიაზროთ მიღებული შედეგები. f ასახვის წარმოებადობა x წერტილში ნიშნავს, რომ x წერტილის მცირე მიდამოში f(x+u) ასახვა არგუმენტით u შეიძლება შეიცვალოს f(x)+fù(x)(u) წრფივი ასახვით. განსხვავება ამ ორ ასახვას შორის მცირეა. ეს სიმცირე არ არის უბრალო სიმცირე, ეს არის მეორე რიგის სიმცირე. ანუ სხვაობა გაცილებით უფრო სწრაფად მცირდება ვიდრე არგუმენტი. ამის ზუსტი გამოთქმა არის განმარტება 28. გავიმეოროთ იგი: ყოველი დადებითი α რიცხვისათვის მოიძებნება დადებითი α რიცხვი ისეთი, რომ თუ u ვექტორის ნორმა ნაკლებია α-ზე, მაშინ სხვაობა f(x+u) და f(x)+fù(x)(u) ანასახებს შორის ნაკლები იქნება არა მარტო α-ზე არამედ α-სა და u ვექტორის ნორმის ნამრავლზე. ამგვარი დადებითი α რიცხვის სიდიდე დამოკიდებულია x წერტილზე. თუ ასახვა წარმოებადია ყველა წერტილში, მაშინ ყოველი α-სათვის იარსებებს ამგვარი α, მაგრამ იგი იქნება სხვადასხვა განსხვავებული წერტილებისათვის. წარმოებულის უწყვეტობა უზრუნველყოფს იმას, რომ სათანადო α შეგვიძლია უკვე შევარჩიოთ საწყისი წერტილისაგან დამოუკიდებლად, რასაკვირველია, მხოლოდ წერტილთა მცირე მიდამოში. აი ეს არის თეორემა 44-ის ძირითადი შინაარსი. ამიერიდად ყოველთვის გვქონდეს მხედველობაში, რომ ვიხილავთ E სივრცის ღია U სიმრავლიდან F სივრცეში უწყვეტად წარმოებად f ასახვას. ანუ ასახვა fù: U → Lin(E,F) უწყვეტია. განვიხილოთ მთელრიცხოვანი ფუნქცია rf: U → N, rf(x) იყოს fù(x) წრფივი ასახვის რანგი, ე.ი. dim Im fù(x), ანუ ანასახის განზომილება.

თეორემა თუ f უწყვეტად წარმოებადი ასახვაა, x მისი რეგულარული წერტილი და A ქვესივრცე, f'(x)-ის ბირთვის წრფივი დამატება, მაშინ არსებობს ისეთი დადებითი რიცხვი α, რომ ყოველი u და v განსხვავებული ვექტორებისათვის A-დან |u| < α, |v| < α ⇒ f(x+u) ≠ f(x+v)

მტკიცება
გამოვიყენოთ წინს თეორემის აღნიშვნები. შევარჩიოთ β ნაკლები α-ზე. მისთვის არსებობს α ისეთი, რომ [inaf'(x+u)(w)| < β|w|. ამგვარი α არსებობს
წინა თეორემის ძალით. w ავიღოთ v-u სხვაობის ტოლი. თუ f(x+u) = f(x+v) და |u| < α, |v| < α, გვექნება|w| = |v-u| < 2α და თუ f(x+u+w) = f(x+u), მაშინ α|w| < [fù(x+u)]|w| < |fù(x+u)(w)| = |f(x+u+w)-f(x+u)-fù(x+u)(w)| < β|w| რაც შეუძლებელია β-ს არჩევის გამო.

თავი მოვუყაროთ მიღებულ ფაქტებს. თუ გვაქვს უწყვეტად წარმოებადი ასახვა f და მისი რეგულარული წერტილი, ავირჩიოთ f'(x)-ის ბირთვის წრფივი დამატება A. არსებობს ისეთი დადებითი α, β და α რიცხვები (α < β), რომ ყოველი u-სათვის თუ |u| < α, მაშინ f'(x+u) იზომორფიზმია A-დან Im f'(x+u)-ზე. თუ |u| < α და |w| < α, მაშინ |f(x+u+w)-f(x+u)-f'(x+u)(w)| < β|w| და თუ v ∈ A, მაშინ α|v| < |f'(x+u)(v)| როგორც თეორემა 48-ში ვნახეთ ყოველივე ეს იძლევა საშუალებას დავასკვნათ, რომ x წერტილის მცირე მიდამო A-დან f ასახვით ურთიერთცალსახად აისახება, ანუ თუ u ∈ A, v ∈ A, |u| < α, |v| < α და u ≠ v, მაშინ f(x+u) ≠ f(x+v).