მათემატიკა

განზომილება

მათემატიკური ობიექტის ერთ ერთი პარამეტრია მისი ქვეობიექტების ჯაჭვის სიგრძე. ჯაჭვში იგულისხმება ქვეობიექტების ჩადგმით დალაგებული მიმდევრობა.
X1 → X2 → . . . → Xk-1 → Xk = X
დავუმატოთ რომ სიტყვა ჯაჭვი ვიხმაროთ მხოლოდ განსხვავებულ ქვეობიექტთა მიმდევრობისათვის. თუ დავუშვებთ მიმდევრობაში ტოლი ობიექტების მონაწილეობას, მაშინ ნებისმიერი სიგრძის ჯაჭვის შექმნა შეგვეძლება. რიცხვ k-ს ჯაჭვის სიგრძე ვუწოდოთ.

ინგლისურად - chain
ფრანგულად - une chaîne
გერმანულად - eine Kette
იტალიურად - una catena
ესპანურად - una cadena
რუსულად - цепь

რადგან ბევრ შემთხვევაში ქვეობიექტობა ტრანზიტული ცნებაა, ანუ ქვეობიექტის ქვეობიექტი თავდაპირველის ქვეობიექტია, ობიექტის ქვეობიექტთა სიმრავლე დალაგებულ სიმრავლედ წარმოგვიდგება. ქვეობიექტთა ჯაჭვი ამ დალაგებული სიმრავლის ელემენტთა წრფივად დალაგებული ქვესიმრავლე იქნება. ბევრ შემთხვევაში ჯაჭვთა სიგრძეების მაქსიმუმი ობიექტის განზომილებად მიიჩნევა. ვუწოდოთ დალაგებულ სიმრავლეს სასრული, შესაბამისად ობიექტს სასრული, თუ ეს მაქსიმუმი არსებობს, ანუ ყოველი ჯაჭვის სიგრძე ამ რიცხვს არ აღემატება. გვექნება მარტივი განმარტება: თუ ობიექტი სასრულია მის განზომილებად მივიჩნევთ ჯაჭვთა სიგრძის მაქსიმუმს.

ინგლისურად - dimension
ფრანგულად - la dimension
გერმანულად - der Dimension
იტალიურად - la dimensione
ესპანურად - la dimensión
რუსულად - размерность

ყველაზე მარტივი და ფუნდამენტური მაგალითია სიმრავლის რაოდენობა. თუ X სასრული სიმრავლეა განვიხილოთ მის ქვესიმრავლეთა ჯაჭვი, ანუ ერთმანეთში ჩადგმულ და ერთმანეთისაგან განსხვავებულ ქვეობიექტთა მიმდევრობა
∅ ⊂ X1 ⊂ X2 ⊂ . . . ⊂ Xk-1 ⊂ Xk = X
გასაგებია რომ სასრული სიმრავლის განზომილება მისი ელემენტების რაოდენობა იქნება.

ქვემოთ საქმე ვიქონიოთ მხოლოდ სასრულ ობიექტებთან. მაგრამ არსებობს სასრული ობიექტის თაობაზე სხვა მიდგომაც. კატეგორიაში ობიექტს შესაძლოა ჰქონდეს მონომორფიზმი (ან ინექციური მორფიზმი) თავის თავში რომელიც არ იქნება იზომორფიმი. ამგვარ ობიექტს მივიჩნევთ უსასრულო ობიექტად. ხოლო თუ ყოველი მონომორფიზმი თავის თავში აუცილებლად იზმორფიზმია, ანუ ავტომორფიზმი, მაშინ ამგვარ ობიექტს მივიჩნევთ სასრულ ობიექტად. ეს ცნება შესაძლოა ჩამოყალიბდეს ეპიმორფიზმების გამოყენებით. თუ რაოდენ ექვივალენტურია ეს განსაზღვრებანი კონკრეტულ კატეგორიაზეა დამოკიდებული.

იმისათვის რომ ნათლად დავინახოთ სასრულობის ამ ორ განსაზღვრებათა შორის კავშირი განვიხილოთ წრფივი სივრცე, ვთქვათ E და მისი თავის თავში მონომორფიზმი, f: E → E რომელიც არ არის ავტომორფიზმი, ანუ Ef ≠ E. მივიღეთ ქვესივრცეთა უსასრულო ჯაჭვი
. . . ⊂ Ef4 ⊂ Ef3 ⊂ Ef2 ⊂ Ef ⊂ E
ვთქვათ ახლა პირიქით. დავუშვათ წრფივ სივრცეში არსებობს ქვესივრცეთა უსასრულო ჯაჭვი
E1 ⊂ E2 ⊂ E3 ⊂ . . .
ავიღოთ პირველი ქვესივრციდან არანულოვანი ვექტორი x1, შემდეგ E2-დან ვექტორი x2 რომელიც არ ეკუთვნის E1-ს და ასე შემდეგ, ყოველი Ek-დან ვექტორი რომელიც არ ეკუთვნის წინა ქვესივრცეს. მივიღეთ ვექტორთა უსასრულო სიმრავლე X. ავიღოთ მის მიერ წარმოქმნილი ქვესივრცე FX და მისი დამატება Y. ავაგოთ წრფივი ასახვა FX → FX გამოწვეული ასახვით x1 → x2, x2 → x3, . . ., xk → xk+1, . . . თუ E-ს ავსახავთ თავის თავში, FX-ს აგებულით ხოლო დამატებას იგიურად, მივიღებთ მონომორფიზმს რომელიც x1-ზე არაფერს ასახავს, ანუ არ იქნება ავტომორფიზმი.

მაგალითი
ავიღოთ სასრული (ვგულისხმობ სასრული, წინა აბზაცის მიხედვით, ანუ მისი თავის თავში ყოველი მონომორფიზმი ავტომორფიზმია) წრფივი სივრცე E ველი V-ს მიმართ. შევქმნათ კატეგორია რომლის ობიექტი იყოს სასრული სიმრავლის ასახვა E-ს არანულოვან ვექტორთა სიმრავლეში. ვთქვათ a: X → E და b: Y → E ასეთი ობიექტებია. Ea იყოს a-ს ანასახით წარმოქმნილი ქვესივრცე, a-თი გამოწვეული წრფივი ასახვის FX → E ანასახი. მორფიზმად a-დან b-ში ჩავთვალოთ ჩვეულებრივი ასახვა X-დან Y-ში თუ მის მიერ გამოწვეული წრფივი ასახვა გადადის ფაქტორ სივრცეებზე Ea-დან Eb-ში.
0 → K → FX → Ea → 0
↓         ↓         ↓
0 → L → FY → Eb → 0
გასაგებია რომ ამისათვის f-ით გამოწვეულმა წრფივ ასახვამ a-ს ბირთვი K უნდა b-ს ბირთვ L-ში გადაიტანოს.

ამ ახლად შექმნილ კატეგორიაში ყოველი ობიექტი სასრულია, რადგან არა თუ ჯაჭვის სიგრძეა შემოსაზღვრული არამედ ობიექტის ქვეობიექტთა რიცხვიც კი სასრულია.

დავარქვათ ჯაჭვს მაქსიმალური თუ მისი გაზრდა შეუძლებელია. მაქსიმალურ ჯაჭვთა შორის იქნება ჯაჭვები დამატებითი პირობით
- ჯაჭვის i-ურ წევრში ელემენტთა რაოდენობა უდრის i-ს.
დავარქვათ ამგვარ ჯაჭვს ეკონომიური. ნებისმიერი ჯაჭვის ეკონომიზაციაა შესაძლებელი იმგვარად, რომ ქვესივრცეები არ შეიცვალოს, ხოლო არგუმენტთა სიმრავლეებში დავტოვოთ ელემენტების მხოლოდ საჭირო რაოდენობა. ეს პროცესი შემდეგნაირად მიმდინარეობს:
ვიწყებთ დაბლიდან. ვპოულობთ პირველ ადგილს, k რომელშიც ელემენტთა რაოდენობა მეტია რიგზე, k. როგორც ვიცით Xk-1-ში ელემენტთა რაოდენობა უდრის (k - 1)-ს, Xk-1 ⊂ Xk და Xk-ში ელემენტთა რაოდენობა მეტია k-ზე. ამ დამატებით ელემენტებს შორის აუცილებლად იქნება ელემენტი, რომლის ანასახიც არ ეკუთვნის Eak-1-ს, მას ვტოვებთ, ხოლო დანარჩენ დამატებით ელემენტებს მოვაცილებთ ყველა მეტ ინდექსიან არგუმენტთა სიმრავლიდან. ახლად მიღებული FXk-ს ანასახი რჩება Eak. სხვაგვარად მისი ჩამატება ყოფილა შესაძლებელი, ეს კი ჯაჭვის მაქსიმალობას ეწინააღმდეგება. გადავდივართ ერთით მაღალ დონეზე და ვატარებთ იმავე პროცედურას. რადგან ჯაჭვი სასრული სიგრძისაა ეკონომიზაცია დასრულდება. ასე რომ შეგვიძლია ვიგულისხმოთ რომ მაქსიმალური ჯაჭვი ამავე დროს ეკონომიურიცაა, ანუ ყოველ Xk-ში k ცალი ელემენტია.

ყოველი მაქსიმალური ჯაჭვის სიგრძე ერთი და იგივეა. მართლაც, დავუშვათ რომ ერთი მაქსიმალური ჯაჭვი m სიგრძისაა, ხოლო არსებობს მასზე მეტი სიგრძის ჯაჭვიც. ავიღოთ გრძელში არგუმენტთა სიმრავლე Ym. რადგან ვგულისხმობთ რომ ეს ჯაჭვი ეკონომიურია მასში ელემენტთა რაოდენობა უდრის m-ს, როგორც ასევე მოკლე ჯაჭვის იმავე დონეზე, Xm-ში. ამ ორ სიმრავლეს შორის ურთირთ ცალსახა თანადობა იწვევს იზომორფიზმს E = Eаm → Ebm. ეს უკანასკნელი კი E-ს საკუთრივი ქვესივრცეა, რაც შეუძლებელია რადგან E სასრული წრფივი სივრცეა. მივიღეთ რომ მაქსიმალური ჯაჭვები ერთი და იგივე სიგრძის არიან და მაშასადამე ეს იქნება ჯაჭვთა სიგრძის მაქსიმუმიც. წრფივი სივრცის განზომოლება განისაზღვრა. შესაძლოა არსებობდეს კატეგორია და მასში ობიექტი რომლის ყოველი ჯაჭვი სასრული სიგრძისაა, მაგრამ მასში ნებისმიერი სიგრძის ჯაჭვიც არსებობდეს.

მაგალითი
შევეცადოთ გავაკეთოთ იგივე ალგებრებისათვის. ავიღოთ სასრული სიმრავლე X და განვიხილოთ ამ სიმრავლის რაიმე ალგებრა A-ში ასახვათა სიმრავლე, აღვნიშნოთ AX-ით. გასგებია რომ მიღებული სიმრავლე იქნება A-მოდული, ანუ იქნება კომუტატური ჯგუფი შეკრების მიმართ და შესაძლებელი ინება A-ს ელემენტზე გამრავლება. ავაგოთ თავისუფალი ნახევარჯგუფი წარმოქმნილი სასრული სიმრავლით. ჯერ სასრული სიმრავლიდან, X ავაგოთ მონომთა სიმრავლე NX. ამ სიმრავლის ელემენტი იყოს X-ის ქვესიმრავლის ასახვა ნატურალურ რიცხვთა სიმრავლეში N. ამ სიმრავლის ელემენტების, a და b ნამრავლი შემდეგნაირად განვსაზღვროთ: sup(a • b) = sup a ∪ sup b, მატარებელთა თანაკვეთაზე x(a • b) = xa + xb, ხოლო მის გარეთ ერთ ერთის მნიშვნელობას. ვთქვათ მოცემულია ალგებრა A. განვიხილოთ MNX. ეს სიმრავლე უკვე ალგებრაა გამრავლება გადმოტანილია წარმომქნელი მონომიდან.

=

=

=

=

=

=

მაგალითი
მეორე მაგალითი იქნება კრულის, Wolfgang Krull (1899.08.26 – 1971.04.12), განზომილება ოღონდ ამჯერად ალგებრისათვის და არა რგოლისათვის როგორც ეს თვით კრულმა შემოიღო. წინა მაგალითის ანალოგიურად განვიხილოთ მორფიზმები FNX-დან ალგებრა A-ში, ანუ ორივე ოპერაციისა და ერთეულის შემნახველი ასახვა. Georg Karl Wilhelm Hamel (12 septembre 1877 à Düren – 4 octobre 1954 à Landshut)

განვიხილოთ სასრულ სიმრავლეთა კატეგორია S და ფუნქტორი F ამ კატეგორიიდან ველი V-ს მიმართ წრფივ სივრცეთა კატეგორია V-ში, S-ის ყოველ ობიექტ X-ს შეესაბამება წრფივი სივრცე FX. ყოველი ასახვა a: X → E განსაზღვრავს წრფივ ასახვას FX-დან E-ში, ამ წრფივი ასახვის ანასახი წრფივი ქვესივრცე აღვნიშნოთ Ea-თი. ასახვათა მიმდევრობა

a1, a2, . . ., ak
ჯაჭვად ვაღიაროთ თუ
- სასრული სიმრავლეები, რომელთაგანაც არის ასახვები ჰქმნიან განსხვავებულ ქვესიმრავლეთა ერთმანეთში ჩალაგებულ ჯაჭვს
X1 ⊂ X2 ⊂ . . . ⊂ Xk
- და ასევე ანასახები ჰქმნიან განსხვავებულ ქვესივრცეთა ერთმანეთში ჩალაგებულ ჯაჭვს
Ea1 ⊂ Ea2 ⊂ . . . ⊂ Eak