მათემატიკა

წრფივ სივრცეთა ტენზორული ნამრავლი

ვთქვათ მოცემულია სამი წრფივი სივრცე E, F, S და ორად წრფივი ასახვა. ვთქვათ ასევე მოცემულია სიმრავლე X და ყოველი მისი ელემენტი x-ისათვის წრფივი სივრცე Ex ველი V-ს მიმართ. ამ ვითარებას მოვიხსენიებთ როგორც წრფივ სივრცეთა სისიტემა E ინდექსირებული X-ით. ვუწოდოთ კვეთა ასახვას X-დან ∪ Ex-ში თუ X-ის ყოველი ელემენტის ანასახი მის შესაბამის წრფივ სივრცეშია, s: X → E კვეთაა თუ xs ∈ Ex. გასაგებია, რომ კვეთათა სიმრავლე იქნება Ex-თა ნამრავლი Π Ex. ყოველ კვეთას, s-ს შევუსაბამოთ კვეთის მატარებელი Sup s = {x | xs ≠ 0}, X-ის ქვესიმრავლე.

გასაგებია, რომ Sup sv = Sup s, სადაც v ველის ნულისაგან განსხვავებული ელემენტია. მაგრამ Sup (s + t) ყოველთვის არ ემთხვევა გაერთიანებას Sup s ∪ Sup t, საერთოდ მხოლოდ შედის გაერთიანებაში Sup s ∪ Sup t.

თუ სიმრავლე X-ში რაიმე სტრუქტურაა ამ სტრუქტურის მეშვეობით შესაძლებელია გამოიყოს განსაკუთრებული კვეთები და მივიღოთ SE-ს ქვესივრცე. მაგალითად კვეთის მატარებლის მიხედვით კვეთათა სივრცეში გამოვყოთ ქვესივრცე კვეთებისა, რომელთა მატარებელიც სასრულია, ვუწოდოთ მათ სასრული კვეთა. ნათელია რომ ეს ქვესივრცე იქნება ფენათა პირდაპირი ჯამი, Σ Ex.
თუ გამოვყოფთ X-ის ქვესიმრავლეთა რაიმე სისტემას, შეგვიძლია გამოვყოთ კვეთათა სიმრავლე პირობით: კვეთის სუპორტი ეკუთვნის გამოყოფილ ქვესიმრავლეთა სიტემას. იმისათვის რომ ეს სიმრავლე წრფივი სივრცე აღმოჩდეს საჭიროა შეთანხმებულობის პირობა, რომ კვეთათა ჯამის სუპორტიც გამოყოფილი იყოს.

სიმრავლე X-სათვის განვიხილოთ კატეგორია X, რომლის ობიექტია წრფივ სივრცეთა სისტემა X-ზე, ხოლო ობიექტ E-დან ობიექტ F-ში მორფიზმი E-დან F-ში ისეთი ასახვაა რომელსაც ელემენტი ფენიდან Ex გადააქვს ფენა Fx-ის ელემენტში და ყოველი x-სათვის ეს ასახვა წრფივი ასახვაა Ex-დან Fx-ში. ნათელია რომ თვით Lin(Ex, Fx)-თა ერთობლიობა სისტემას ჰქმნის. სისტემათა მორფიზმი ამ სისტემის კვეთაა. ყოველი ორი ობიექტისათვის ამგვარი მორფიზმები წრფივ სივრცეს ჰქმნის.
Mor(E, F) ან Lin(E, F) = Π Lin(Ex, Fx), x ∈ X

წრფივ სივრცეთა კატეგორია L-იდან ზემოთ აღწერილ, სისტემათა კატეგორია X-ში ფუნქტორი იქნება თუ ყოველ წრფივ სივრცე S-ს შევუსაბამებთ მის ნამრავლს X-ზე, ანუ ტრივიალური ფიბრაცია TS = X × S → X. გვაქვს ორი ფუნქტორი X-დან წრფივ სივრცეთა კატეგორია L-ში: კვეთათა წრფივი სივრცე ΠE = Π Ex და სასრულ კვეთათა წრფივი სივრცე ΣE = Σ Ex.

წრფივ სივრცეთა ნამრავლისა და ჯამის განსაზღვრის თანახმად გვაქვს
Mor(E, TS) = Lin(ΣE, S)
Mor(TS, E) = Lin(S, ΠE)
ადვილად ჩანს რომ ეს გაიგივება შეთანხმებულია მორფიზმებთან. გამოდის რომ Σ არის ჩადგმის ფუნქტორ T-ს მარცხენა შეუღლებული, ხოლო Π მარჯვენა შეუღლებული ფუნქტორი.

მრავლად წრფივი ასახვა
ვთქვათ სიმრავლე X-ზე მოცემულია წრფივ სივრცეთა სისტემა E. სიმრავლე X-ის ყოველი წერტილი x-ის ფენიდან Ex აღებულ ვექტორ u-ს შევუსაბამოთ კვეთათა სიმრავლიდან თავის თავში ასახვა u: ΠE → ΠE შემდეგნაირად:
x(su) = u და თუ z ≠ x მაშინ z(su) = zs
კვეთის ერთადერთი მნიშვნელობა იცვლება, xs, მის მაგივრად მნიშვნელობა იქნება u.

ვთქვათ მოცემულია X-ზე წრფივ სივრცეთა სისტემა E-ს კვეთათა სივრცის წრფივი ქვესივრცე S პირობით:
- სისტემის ყოველი ვექტორისათვის თუ s∈S, მაშინ su∈S.

კატეგორია X-დან ფუნქტორი S, ისეთი რომ Σ ⊂ S ⊂ Π. ყოველ კვეთა s-ს SE-დან და ფენის ელემენტს u ∈ Ex შევუსაბამოთ ახალი კვეთა su, რომლის მნიშვნელობაც ყველგან იგივეა რაც s-ის მნიშვნელობა გარდა x-ზე მნიშვნელობისა, x(su) = u.

თუ s ∈ SE, u ∈ Ex, მაშინ x(su) = u და z(su) = zs, z ≠ x

განსაზღვრება
კვეთათა სივრცე SE-დან წრფივ სივრცე A-ში ასახვას უწოდებენ მრავლად წრფივს თუ მისი კომპოზიცია ყოველი კვეთის შესაბამის ჩადგმასთან Ex-დან SE-ში

Ex → SE → A
წრფივი ასახვაა

ინგლისურად - multilinear map
ფრანგულად - une application multilinéaire
გერმანულად - die multilineare Abbildung
იტალიურად - una applicazione multilineare
ესპანურად - ?
რუსულად - ?

ნათელია რომ მრავლად წრფივ ასახვათა ჯამი მრავლად წრფივია და მრავლად წრფივის ველის ელემენტზე ნამრავლიც მრავლად წრფივია. გამოდის რომ მრავლად წრფივ ასახვათა სიმრავლე წრფივი სივრცეა. აღვნიშნოთ ეს სივრცე Mul(SE, A)-თი.

თუ X სასრული სიმრავლეა, გასაგებია რომ მხოლოდ ერთი ფუნქტორი გვაქვს, Σ.

მაგალითი
თვით ველი V წრფივი სივრცეა და გამრავლება ორად წრფივი ასახვაა V × V → V.

მაგალითი
ვთქვათ X რაიმე სიმრავლეა და
FX წრფივი სივრცე. ასახვა FX → V, რომელიც FX-ის ვექტორ a-ს ასახავს კოფიციენტთა ჯამში Σ xa, წრფივია. ასახვა, რომელიც ვექტორს ასახავს კოეფიციენტთა ნამრავლში Π xa, მრავლად წრფივია, როგორც ასახვა Σ V = FX.

ტენზორული ნამრავლი
ვთქვათ E წრფივ სივრცეთა სისტემაა სიმრავლე X-ზე. ტენზორული ნამრავლი ⊗E იძლევა მრავლად წრფივი ასახვის წრფივი ასახვით ჩანაცვლების საშუალებას. ადრე ნათქვამია და ვიმეორებთ რომ მრავლად წრფივ ასახვათა სიმრავლე წრფივი სივრცეა, Mul(SE, A). იდეა იმაშია რომ ყოველი წრფივი სივრცისათვის გვქონდეს ტოლობა Mul(SE, A) = Lin(⊗E, A).

განსაზღვრება
სიმრავლე X-ზე წრფივ სივრცეთა სისტემა E-ს კვეთათა ფუმქტორ S-ით განსაზღვრული ტენზორული ნამრავლი ვუწოდოთ წრფივ სივრცე ⊗E-ს და მრავლად წრფივ ასახვა t: SE → ⊗E თუ ყოველი მრავლად წრფივი ასახვისათვის f: SE → A არსებობს ერთადერთი წრფივი ასახვა f: E → A ისეთი რომ f = t ∘ f

ვთქვათ ტენზორული ნამრავლი ⊗E არსებობს. განვიხილოთ წრფივი სივრცე F(SE) და მრავლად წრფივი ასახვა t-ს მიერ წარმოქმნილი წრფივი ასახვა F(SE) → ⊗E. გვაქვს ზუსტი მიმდევრობა
0 → D → F(SE) → ⊗E → 0
თუ შევძლებთ აღვწეროთ ბირთვი D ფუნქტორი S-ის მეშვეობით მივიღებთ ტენზონური ნამრავლის აგების საშუალებას. თუ წრფივი ასახვა F(SE) → A გამოწვეულია მრავლად წრფივი ასახვით SE → A, მაშინ ყოველი ვექტორი s(u + v) - su - sv, სადაც s კვეთაა ხოლო u, v ∈ Ex, გადადის ნულში. ასევე ნულში გადადის კომბინაცია s(uα) - (su)α, სადაც α ∈ V. გასაგებია, რომ ამგვარ ვექტორებს ყოველი მრავლად წრფივი ასახვით შექმნილი წრფივი ასახვა ნულში გადაიტანს. ასე რომ ამ ვექტორებით წარმოქმნილი ქვესივრცით შექმნილი F(SE)-ს ფაქტორ სივრცე იქნება ტენზორული ნამრავლი. წრფივი ასახვის არსებობა უკვე F(SE)-ს დონეზეა უზრუნველყოფილი. ფაქტორ სივრციდან თუ არსებობს ორი წრფივი ასახვა მათი ანასახები განსხვავებული იქნება რომელიღაც კვეთის შრეზე, s.

მაგალითი
როგორც უკვე აღვნიშნეთ FX შეგვიძლია დავინახოთ როგორც X-ზე წრფივ სივრცეთა სისტემა, ყოველი წრფივი სივრცე ველი V-ა. რა იქნება ამ სისტემის ტენზორული ნამრავლი?