ტოპოლოგია

სიმრავლის ელემენტთა შორის მიმართება, სიმრავლის სტრუქტურა სხვადასხვანაირად შეიძლება წარმოგვიდგეს. მათემატიკაში დალაგების სტურქტურას ჩვეულებრივ გეომეტრიას უკავშირებენ. დალაგების ერთ ერთ ყველაზე ზოგად სტრუქტურას ტოპოლოგია განსაზღვრავს. თვით ამ სიტყვის შინაარსიც ადგილს, ალაგს, დალაგებას უკავშირდება. ამ ცნების განმარტების საფუძვლად შეიძლება ავიღოთ ელემენტთა სიახლოვე ან ქვესიმრავლის ჩაკეტილობა ან გახსნილობა.

ინგლისურად - topology
ფრანგულად - la topologie
გერმანულად - die Topologie
იტალიურად - la topologia
ესპანურად - la Topología
რუსულად - топология

ტოპოლოგიური პრობლემის პირველად განხილვას ლეონარდ ეილერს (Leonhard Eulerl 1707.04.15 - 1783.09.18) აბრალებენ. მან 1736 წელს ერთ ერთ ნაშრომში აღწერა კიონიგსბერგის ხიდებთან დაკავშირებული პრობლემა. თავდაპირველად ამ ტიპის პრობლემებს შეერქვა Analysis Situs. ანრი პუანკარეს (Henri Poincaré 1854.04.29 - 1912.07.17) სოლიდურ ნაშრომს, გამოქვეყნებულს 1895 წელს, რომელშიც შემოიტანა ჰომოლოგიისა და ჰომოტოპიის ცნებები ერქვა Analysis Situs. სიტყვა ტოპოლოგია ტერმინად პირველად იხმარაო იოჰან ლისტინგმა (Johann Benedict Listing 1808.07.25-1882.12.24) ნაშრომში Vorstudien zur Topologie, 1847. ტერმინი ტოპოლოგიური სივრცე განმარტა 1914 წელს ფელიქს ჰაუსდორფმა (Felix Hausdorff 1868.11.08 - 1942.01.26). დღევანდელი განმარტება საბოლოოდ დახვეწა 1922 წელს კაზიმირ კურატოვსკიმ (Kazimierz Kuratowski 1896.02.02 - 1980.06.18). საქართველოში ამ დარგის ინიციატორი და საკუთარი სკოლის შემქმნელი გიორგი ჭოღოშვილი (1914.12.21 - 1998.06.14) იყო.

სიმრავლეზე (ან სიმრავლეში) მოცემულია ტოპოლოგია ნიშნავს, რომ ზოგიერთი ქვესიმრავლე მიჩნეულია ჩაკეტილად, ზოგი კი ღიად. წერტილის, ანუ აღებული სიმრავლის ელემენტის, მიდამოდ შეგვიძლია მივიჩნიოთ მისი მომცველი ღია სიმრავლე. ბუნებრივია, ამგვარ ქვესიმრავლეთა ერთობლიობა უნდა აკმაყოფილებდეს პირობებს, რომელიც შექმნის ჩვენთვის მისაღებ გეომეტრიულ წარმოდგენებს.

დღეისათვის მიჩნეულია რომ ტოპოლოგიის განმსაზღვრელ ერთობლიობაში შემავალი ქვესიმრავლე ან ჩაკეტილია ან ღია. მეტიც ჩაკეტილის სიმრავლური დამატება ღიაა, ხოლო ღიას დამატება ჩაკეტილი. თუ ჩაკეტილებით დავიწყებთ, მათ დამატებას ღიებს უწოდებენ. შებრუნებით, ბუნებრივია, თუ ღიებით დავიწყებთ ჩაკეტილი ღიას დამატება იქნება.

განსაზღვრა
მოცემულია ტოპოლოგიური სივრცე, ანუ სიმრავლეზე მოცემულია ტოპოლოგია ნიშნავს, რომ მისი ზოგიერთი ქვესიმრავლე აღიარებულია ჩაკეტილად. ჩაკეტილ ქვესიმრავლეთა ერთობლიობა აკმაყოფილებს პირობებს:
- ჩაკეტილ ქვესიმრავლეთა ნებისმიერი ერთობლიობის თანაკვეთა ჩაკეტილია
- ჩაკეტილ ქვესიმრავლეთა სასრული ერთობლიობის გაერთიანება ჩაკეტილია
- ცარიელი ქვესიმრავლე და თვით მოცემული, მთელი სიმრავლე ჩაკეტილია

ინგლისურად - topological space, closed, open set
ფრანგულად - un espace topologique, un ensemble ferme, ouvert
გერმანულად - ein Topologischer Raum, eine abgeschlossen, offene Menge
იტალიურად - uno spazio topologico, un insieme chiusi, vuoto
ესპანურად - un espacio topológico, un junto cerrados, abiertos
რუსულად - топологи́ческое простра́нство, замкнутое, открытое множество

მაგალითი
უკიდურესი მაგლითებია: მხოლოდ ცარიელი და მთელი სიმრავლეა ჩაკეტილი, მეორე კი ყველა სიმრავლე ჩაკეტილია. მეორე შემთხვევას დისკრეტულ ტოპოლოგიას უწოდებენ. უფრო საინტერესო მაგალითია თუ ჩაკეტილებად მივიჩნევთ ყველა სასრულ ქვესიმრავლეს და უსასრულო ქვესიმრავლეებიდან მხოლოდ მთელ სიმრავლეს.

განსაზღვრა
ტოპოლოგიური სივრცის ქვესიმრავლეს ვუწოდოთ ღია თუ მისი სიმრავლური დამატება ჩაკეტილია

გასაგებია, რომ ცარიელი სიმრავლე და მთელი სიმრავლე ღია იქნება. გასაგებია აგრეთვე, რომ სასრული რაოდენობა ღია ქვესიმრავლეთა თანაკვეთა ისევ ღია იქნება. რაც შეეხება გაერთიანებას, აქ უკვე ღია სიმრავლეთა ნებისმიერი ერთობლიობის გაერთიანება ღია იქნება. ასევე ნათელია, რომ ტოპოლოგიური სივრცე შეიძლება განისაზღვროს ღია ქვესიმრავლეთა ერთობლიობის მოცემით, რომელსაც აღწერილი თვისება გააჩნია.

ამიერიდან ტოპოლოგიური სივრცის ელემენტისათვის ვიხმაროთ სიტყვა წერტილი. წერტილის მიდამოდ ჩვეულებრივ მიიჩნევენ მის მომცველ ღია სიმრავლეს. ამ შემთხვევაში წერტილის მოდამოთა ერთობლიობას ექნება შემდეგი თვისება:
- მიდამოთა სასრული რაოდენობის თანაკვეთა ისევ მიდამოა.

ინგლისურად - neighbourhood
ფრანგულად - un voisinage
გერმანულად - eine Umgebungen
იტალიურად - un intorno
ესპანურად - una redonda
რუსულად - окрестность

შესაძლოა უფრო სუსტი თვისებაც:
- მიდამოთა სასრული რაოდენობის თანაკვეთა შეიცავს მიდამოს.

თუ ყოველი წერტილისათვის მოცემულია მიდამოთა ერთობლიობა აღნიშნული თვისებით, შეგვიძლია განვსაზღვროთ ტოპოლოგიაც. სიმრავლე ჩავთვალოთ ღიად თუ მის ყოველ წერტილს აქვს მიდამო, რომელიც მთლიანად ეკუთვნის აღებულ სიმრავლეს. ამგვარად განსაზღვრული ღიათა სისტემა დააკმაყოფილებს ტოპოლოგიის განსაზღვრის პირობებს. მართლაც, მთელი სიმრავლე ღიაა, უბრალოდ იმიტომ, რომ მიდამო მისი ქვესიმრავლეა. ასევე ტავტოლოგიურად დასტურდება, რომ ცარიელიც ღიაა. თუ მოცემულია ღიათა ერთობლიობა და მათი გაერთიანების წერტილი, მაშინ ეს წერტილი ერთ ერთი მათგანის წერტილიცაა და მასში შემავალი მიდამო გაერთიანებაშიც მოხვდება. დაგვრჩა პირობა სასრული რაოდენობა ღიათა თანაკვეთის თაობაზე. თუ წერტილი ამ თანაკვეთაშია ყოველი მათგანისათვის არსებობს ამ წერტილის საჭირო მიდამო. ამ მიდამოთა თანაკვეთაში შემავალი მიდამო იქნება სასურველიც.

თავდაპირველად აღებული მიდამო ღია იქნება? ამისათვის საჭიროა რომ არა მარტო თავდაპირველი წერტილისათვის იყოს ის მიდამო არამედ ყოველ მის წერტილს უნდა ჰქონდეს აღებულ სიმრავლეში შემავალი მიდამო. თუ მიდამოთა მოცემული ერთობლიობა აკმაყოფილებს პირობას:
- წერტილის მიდამოში შემავალ ყოველ წერტილს გააჩნია მიდამო, რომელიც შედის აღებულში
მაშინ ყოველი მიდამო ღიაა.

ამ პირობის შესრულების შემთხვევაშიც სხვადასხვა მიდამოთა სისტემამ შესაძლოა ერთი და იგივე ტოპოლოგია განსაზღვროს. მიდამოთა სისტემა ჰქმნის ტოპოლოგიას, ტოპოლოგია კი განსაზღვრავს წერტილის ღია მიდამოთა სისტემას, თავდაპირველი სისტემა თუ მას აქვს აღწერილი თვისება, მაშინ ის ღია მიდამოთა სისტემის ნაწილი იქნება.

მარტივი დასკვნა. მიდამოთა ორი სიტემა განსაზღვრავს ერთი და იმავე ტოპოლოგიას თუ სრულდება პირობა:
- ყოველი წერტილის მიდამოს ერთი სისტემიდან აქვს მეორე სისტემიდან მასში შემავალი მიდამო

ძირითადი ცნებებიდან დაგვჩა ერთი, ოპერაცია ჩაკეტვა. ეს ოპერაცია განსაზღვრულია ტოპოლოგიური სივრცის ქვესიმრავლეთა ერთობლიობაზე. სიმრავლის ჩაკეტვას უწოდებენ მოცემული სიმრავლის მომცველ უმცირეს ჩაკეტილ სიმრავლეს. ამგვარი სიმრავლე არსებობს რადგან ჩაკეტილ სიმრავლეთა ნებისმიერი ერთობლიობის თანაკვეთა ისევ ჩაკეტილია.

დალაგება
თუ ტოპოლოგიური სივრცე სასრულია, ანუ წერტილთა რაოდენობა სასრულია, გასაგებია რომ წერტილის მიდამოთა რაოდენობაც სასრული იქნება და ამიტომ არსებობს უმცირესი მიდამოც. შესაძლოა ტოპოლოგიური სივრცის წერტილთა სიმრავლე არ იყოს სასრული, მაგრამ ყოველ წერტილს ჰქონდეს უმცირესი მიდამო. ამ ვითარებაში განისაზღვრება მიმართებაც. ჩავთვალოთ წერტილთან მიმართებაში მის უმცირეს მიდამოში შემავალი ყოველი წერტილი. ამგვარად განსაზღვრული მიმართება იქნება რეფლექსური: ყოველი წერტილი თავის თავთან მიმართებაშია, ეკუთვნის საკუთარ მიდამოს. პირიქითაც, რეფლექსური მიმართება განსაზღვრავს ტოპოლოგიას. წერტილთან მიმართებაში მყოფ წერტილთა სიმრავლე მივიჩნიოთ წერტილის მიდამოდ და ამ მიდამოთა სისტემის საშუალებით განვმარტოთ ღია სიმრავლეთა ერთობლიობა. როგორც ზემოთ უკვე ვნახეთ თუ გვინდა თავდაპირველად მოცემული მიდამო იყოს ღია საჭიროა დამატებითი პირობა, რომელიც
ზემოთ იყო ჩამოყალიბებული. მინიმალური მოდამოს არსებობის შემთვევაში ეს პირობა ასე გარდაიქმნება:
- თუ y ∈ Mx, მაშინ My ⊂ Mx
ეს კი მიმართების ენაზე ტრანზიტულობას ნიშნავს.

ვთქვათ სიმრავლე X-ზე მოცემულია რეფლექსური და ტრანზიტული მიმართება. როგორც უკვე ვნახეთ ეს მიმართება განსაზღვრავს X-ზე ტოპოლოგიას. მოცემულ წერტილთან მიმართებაში მყოფ წერტილთა სიმრავლე იქნება მოცემულის ღია მიდამო. აღებული წერტილის ყოველი ღია მიდამოს დამატება ჩაკეტილია. ხოლო ჩაკეტილის განმარტების თანახმად მის გარეთ წერტილთან მიმართებაში მყოფი არ შევა ჩაკეტილში. ანუ წერტილთან მიმართებაში მყოფი შევა ყველა მის მიდამოში. ეს უკანასკნელი კი ნიშნავს რომ ყოველ წერტილს აქვს მინიმალური მიდამო, მასთან მიმართებაში მყოფ წერტილთა სიმრავლე.

გამოვიდა, რომ ტოპოლოგიურ სივრცეში ყოველი წერტილისათვის მინიმალური მიდამოს არსებობა სივრცეზე რეფლექსური და ტრანზიტული მიმართების არსებობის ექვივალენტურია. ტოპოლოგიას სწორედ ეს მიმართება აჩენს. ამგვარ მიმართებას ჩვეულებრივ დალაგებას უწოდებენ. მივიღეთ რომ დალაგება ტოპოლოგიის ერთ ერთი კლასია, უმცირეს მიდამოებიანი ტოპოლოგიური სივრცე.

მცირე შენიშვნა:
შესაძლოა განსხვავებულ წერტილებს ერთი და იგივე მინიმალური მიდამო აღმოაჩდეთ. ეს ტოპოლოგიური თვალსაზრისით ამ წერტილთა განურჩევადობას ნიშნავს. ამაზე ქვემოთ. კორექტულობისათვის უნდა დაემატოს T0-ობა.

დალაგებულ სიმრავლეში, ანუ სიმრავლეზე რეფლექსური და ტრანზიტული მიმართებით შემოვიტანოთ ტოპოლოგია შემდეგნაირად: ქვესიმრავლე იყოს ღია თუ მის ყოველ წერტილზე მეტი წერტილი მისი წერტილია. გასაგებია, რომ ღია ქვესიმრავლეთა ერთობლიობის გაერთიანება ღიაა და ღია ქვესიმრავლეთა ერთობლიობის თანაკვეთაც ღიაა. ჩვეულებრივ ტოპოლოგიურ სივრცეებიდან ამგვარი სივრცე გამოიყოფა თვისებით, რომ არა მარტო სასრული რაოდენობა ღიების თანაკვეთა რჩება ღია, ან, რაც იგივეა, ჩაკეტილების გაერთიანება ჩაკეტილი, არამედ ნებისმიერი ერთობლიობის.

ნებისმიერ ტოპოლოგიურ სივრცეში შესაძლებელია შემოვიტანოთ დალაგების მიმართება: წერტილი x მიმართებაშია წერტილ y-თან თუ x-ის ყოველ მიდამოში შედის y. თუ გავიხსენებთ საზღვრის განმარტებას ნიშნავს, რომ x ეკუთვნის y-ის საზღვარს. შემოვიტანოთ აღნიშვნაც x < y. აქვს თუ არა ამ მიმართებას დალაგების ჩვენთვის ცნობილი თვისებები? ის რომ წერტილი თავის თავის საზღვარშია, ნათელია, რადგან თავის მიდამოში შედის. ტრანზიტულობა? თუ x < y და y < z, მაშინ x < z? თუ x არის y-ის საზღვარში, ანუ x-ის მიდამოში შედის y, მაგრამ ეს მიდამო თვით y-ის მიდამოცაა და მასში შედის z, ეს კი ნიშნავს რომ x < z. ანუ ტრანზიტულობა ტოპოლოგიური თვისების შედეგია. მესამე თვისება რასაც მოვითხოვთ დალაგებისაგან არის: x < y და y < x ⇒ x = y. ტოპოლოგიის ენაზე ეს ნიშნავს, რომ ყოველი ორი წერტილი განსხვავებულია, ანუ მიდამოთა მათი სისტემა განსხვავებულია.

ვთქვათ სიმრავლე X-ზე მოცემულია დალაგების მიმართება. როგორც ვნახეთ განვსაზღვრავთ ტოპოლოგიას. ამ სივრცის სპეციფიკა იმაშია, რომ ყოველ წერტილს აქვს უმცირესი მიდამო. ეს არის სიმრავლე, რომელიც შესდგება თვით საწყისი წერტილიდან და მასზე მეტებიდან. თუ მიღებულ ტოპოლოგიურ სივრცეში განვსაზვრავთ ზემოთ აღწერილი წესით მიმართებას ადვილი დასანახია, რომ მივიღებთ თავდაპირველ დალაგებას. ანუ დალაგებული სიმრავლიდან ტოპოლიგიური სივრცე და შემდეგ მისგან დალაგებული სიმრავლე იძლევა თავდაპირველ დალაგებას.

თუ დავიწყებთ ტოპოლოგიური სივრციდან და განვსაზღვრავთ დალაგებას, შემდეგ კი შევეცდებით განვსაზღვროთ ტოპოლოგია, მივიღებთ თავდაპირველ ტოპოლოგიას თუ ის T0-სივრცეა და მასში სრულდებოდა თვისება: ყოველ წერტილს აქვს უმცირესი მიდამო. ასე რომ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ დალაგებული სიმრავლე ეს არის ტოპოლოგიური T0-სივრცე, რომელშიც ყოველ წერტილს აქვს უმცირესი მიდამო.

დალაგებულ სიმრავლეთა შორის გამოიყოფა განსაკუთრებული დალაგება, როდესაც ყოველი ორი წერტილის მიდამო თანაიკვეთება. ამგვარად მიღებულ დალაგებას მიმართული სისტემა ჰქვია.

განცალკევადობა

ჩვეულებრივი წარმოდგენებიდან გამომდინარე ყოველი წერტილი ჩაკეტილი სიმრავლეა. მაგრამ არის საინტერესო და, რაც მთავარია, სასარგებლო ტოპოლოგიური სივრცეები, რომელშიც ეს ასე არ არის. მეტიც, წერტილთა განცალკევებაც ვერ ხერხდება. განცალკევება წარმოგვიდგება შემდეგნაირად: ორი წერტილი განცალკევადია თუ არა მხოლოდ განსხვავებულია, არამედ მათ გააჩნიათ მიდამოებიც რომელნიც არ თანაიკვეთება. საერთოდ, ორი ობიექტი ტოპოლოგიურად განსხვავებულად ჩაითვლება თუ ტოპოლოგიური, ზემოთ აღწერილი ცნებებით შესაძლებელია მათი სხვადასხვანაირი დახასიათება. იმის მიხედვით თუ განაცალკევადობის რომელ პირობას აკმაყოფილებს სივრცეს უწოდებენ T0-სივრცეს, T1-სივრცეს და ასე შემდეგ გერმანული სიტყვის Trennungsaxiom მიხედვით. სეპარაციის ეს ტერმინოლოგია წამოიწყო ტიხონოვმა (Андре́й Ти́хонов, 1906.10.30 - 1993.10.07).

T0-სივრცე
ტოპოლოგიურ სივრცეს რომელშიც ყოველი ორი წერტილი განსხვავებადია T0-სივრცეს უწოდებენ (Андре́й Колмого́ров, урождённый Катаев, 1903.04.25 - 1987.10.20). ანუ წერტილთა ყოველი წყვილიდან ერთ ერთ მათგანს მაინც აქვს მიდამო რომელსაც მეორე არ ეკუთვნის.

T1-სივრცე
ტოპოლოგიურ სივრცეს რომელშიც ყოველი ორი წერტილი განცალკებადია, ანუ ორივეს აქვს მიდამო რომელშიც მეორე არ შედის, ზოგი მას ტიხონოვის სივრცედ მოიხსენიებს და ზოგი ფრეშეს სივრცედ, (Maurice René Fréchet, 1878.09.02 – 1973.06.04).

T2-სივრცე
ტოპოლოგიურ სივრცეს რომელშიც ყოველი ორი წერტილი მიდამოებით განცალკებადია, ორივეს აქვს მიდამო, რომელიც არ თანაიკვეთება ჰაუსდორფის სივრცეს უწოდებენ (Felix Hausdorff, 1868.11.08 – 1942.01.26). ყველა საყოველთაოდ ცნობილი, ჩვეულებრივი სივრცე ამ ბოლო თვისების მატარებელია.

არის კიდევ T3-სივრცე, რეგულარული სივრცე, T4-სივრცე, ნორმალური სივრცე. ხმარობენ T31/2-სივრცესაც რომელთა გაცნობით თავს არ შეგაწუხებთ.

ღია სიმრავლეთა ალგებრა

ვთქვათ X ტოპოლოგიური სივრცეა. აღვნიშნოთ HX-ით მისი ღია სიმრავლეთა სიმრალე, ეს სიმრავლე ყველა ქვესიმრავლეთა მესერის ქვემესერია და მას ჰეიტინგის ალგებრას უწოდებენ დარქმეულია ბრაუერის Luitzen E. J. Brouwer (1881.02.27 – Dezember 1966.12.02) თანამოაზრის ა. ჰეიტინგის საპატივსაცემოდ Arend Heyting (1898.05.09 – 1980.06.09).

განსაზღვრა
მესერს ოპერაციებით ⋀, ⋁ და იმპლიკაციით →, რომელიც აკმაყოფილებს პირობას:
c ∧ a ≤ b ⇔ c ≤ a → b
ჰეიტინგის ალგებრას უწოდებენ

ინგლისურად - Heyting algebra
ფრანგულად -
გერმანულად - eine Heyting-Algebra
იტალიურად - un'algebra di Heyting
ესპანურად - las álgebras de Heyting
რუსულად - алгебра Гейтингa