მათემატიკა

მრავალნაირობა

მრავალნაირობა არის ტოპოლოგიური სივრცე, რომელიც ლოკალურად წრფივი სივრცის ჰომეომორფულია, ანუ მის ყოველ წერტილს აქვს მიდამო წრფივი სივრცის ნულის მიდამოს ჰომეომორფული. ამ გვერდზე წრფივ სიცრცეში ვგულისხმობთ მხოლოდ ნამდვილ რიცხვთა ველის მიმართ წრფივ სივრცეს. უფრო ზუსტად მას ტოპოლოგიურ მრავალნაირობად მოიხსენიებენ.

ინგლისურად - manifold
ფრანგულად - une variété
გერმანულად - einer Mannigfaltigkeit
იტალიურად - una varietà
ესპანურად - Una variedad
რუსულად - Многообразие

ვთქვათ მოცემულია ტოპოლოგიური სივრცე X და მისი წერტილი a-ს მიდამოს ჰომეომორფიზმი რაიმე წრფივი სივრცე E-ს ნულის მიდამოსთან. ამ შემთხვევას ვუწოდებ რომ ტოპოლოგიურ სივრცე X-ს წერტილ a-ში აქვს მხებად წრფივი სივრცე E. ბუნებრივია ყოველ წრფივ სივრცეს მის ყოველ წერტილში აქვს მხებად თვით E.

დიფერენცირებადი მრავალნაირობა არის ტოპოლოგიური სივრცე, რომელიც ლოკალურად წრფივი სივრცის ჰომეომორფულია, ანუ მის ყოველ წერტილში არსებობს მხები, ანუ აქვს წრფივი სივრცის ნულის მიდამოს ჰომეომორფული მიდამო. ამ გვერდზე წრფივ სიცრცეში ვგულისხმობთ მხოლოდ ნამდვილ რიცხვთა ველის მიმართ წრფივ სივრცეს. დამატებით საჭიროა ამ ჰომეომორფიზმთა შეთანხმებულობა. ეს შეთსნხმებულობა გამოიხატება მხები სივრცეების ნულის მიდამოების კომპოზიციებით მიღებულ ასახვათა დიფერენცირებადობაში. თუ ტოპოლოგიურ სივრცეს ყოველ წერტილში აქვს მხები მაშინ ამ მხებთა სიმრავლე გადაიქცევა წრფივ სივრცეთა სისტემად, წრფივ ფიბრაციად.

განსაზღვრა
ტოპოლოგიური სივრცე X არის დიფერნცირებადი მრავალნაირობა თუ არსებობს წრფივ სივრცეთა ფიბრაცია T → X და X-ის ყოველი წერტილი x-სათვის მასზე ფენის Tm ნულის მიდამოს Nx ჰომეომორფიზმი x-ის X-ში მიდამოზე Mx Xპირობით:
- წერტილთა ყოველი წყვილისათვის ამ ჰომეომორფიზმთა კომპოზიცია მიდამოთა თანაკვეთაზე
Tm ⊃ Nx ⊃ A ↔ Mx ∩ My ↔ B ⊂ Ny ⊂ Ty დიფერენცირებადი ასახვაა

განვიხილოთ გაერთიანება N = ∪ Nx ⊂ T. ფენებში მიდამოთა გაერთიანება N-ის ასახვა X-ზე, ამჯერად ფენა წერტილზე x იქნება Nx.
არის N-ის მეორე ასახვაც X-ზე. N-ის ყოველი წერტილი შედის რომელიღაც Nx-ში რომელიც ჰომეომორფულად აისახება Mx-ზე ავსახოთ აღებული წერტილი მის ჰომეომორფულ ანასახზე, მივიღეთ სურექციული ასახვა N → X. ამჯერად წერტილი x-ის წინასახე არ იქნება მისივე ფენაში. აგებული ასახვით x-ის წინასახეში შევა წერტილი y ∈ Nz თუ x ∈ Mz და ჰომეომორფიზმით Nz → Mz წერტილი y გადადის x-ში. წერტილი x განსაზღვრავს წერტილთა სიმრავლეს რომელთა ფენაშიც შედის ჰომეომორფიზით Nz ↔ Mz მისი შესაბამისი. აღვნიშოთ ეს სიმრავლე Hx-ით, z ∈ Hx.

გასაგებია რომ ყოველი აფინური სივრცე მრავალნაირობაა და მისი განმსაზღვრელი წრფივი სივრცე მხებია მის ყოველ წერტილში.